大学高次多项式的因式分解

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高阶多项式因式分解法:1.高阶多项式因式分解的一般方法：运用定理。2.与首末两项等距离的项的系数相等的高阶多项式因式分解法的方法
。

高次多项式因式分解的一般方法

定理1：设f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0是一个整系数多项式,如果有理数v/u是它的一个根,其中u与v互素,则u|an,v|a0。特别地,当an=1时,f(x)的有理根都是整数,且为常数项a0的因数 。

定理2：若既约分数v/u是整系数多项式f(x)的根,则u-v|f(1),u+v|f(-1)
。

2.与首末两项等距离的项的系数相等的高次多项式的因式分解的方法

（1）最高次数是偶次的多项式

（2）最高次数是奇数的多项式

（3）各项系数和等于零的高次多项式

谁给我讲讲因式分解

把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个因式分解（也叫作分解因式）。它是中学数学中最重要的恒等变形之一 ，它被广泛地应用于初等数学之中
，是我们解决许多数学问题的有力工具 。

因式分解方法灵活，技巧性强 ，学习这些方法与技巧
，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能 ，发展学生的思维能力
，都有着十分独特的作用
。

定义：把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解（也叫作分解因式）。

意义：它是中学数学中最重要的恒等变形之一 ，它被广泛地应用于初等数学之中
，是我们解决许多数学问题的有力工具 。因式分解方法灵活，技巧性强 ，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的
。

而且对于培养学生的解题技能
，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用。学习它 ，既可以复习整式的四则运算
，又为学习分式打好基础；学好它，既可以培养学生的观察、思维发展性 、运算能力 ，又可以提高学生综合分析和解决问题的能力 。

分解因式与整式乘法互逆
。

同时也是解一元二次方程中因式分解法的重要步骤。

扩展资料

各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式
，公因式可以是单项式，也可以是多项式 。

如果一个多项式的各项有公因式 ，可以把这个公因式提出来
，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫 ?做提取公因式分解因式。

具体方法：当各项系数都是整数时 ，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母
，而且各字母的指数取次数最低的
。

当各项的系数有分数时，公因式系数为各分数的最大公约数。如果多项式的第一项是负的 ，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数成为正数 。提出“-
”号时
，多项式的各项都要变号
。

口诀：找准公因式，一次要提尽；全家都搬走 ，留1把家守；提负要变号
，变形看奇偶。

参考资料：

因式分解的一般步骤

因式分解

编辑

把一个多项式在一个范围（如有理数范围内分解，即所有项均为有理数）化为几个最简整式的积的形式 ，这种变形叫做因式分解
，也叫作分解因式 。在数学求根作图方面有很广泛的应用
。

原则：

1、分解必须要彻底（即分解之后因式均不能再做分解）

2
、结果最后只留下小括号

3、结果的多项式首项为正。 在一个公式内把其公因子抽出，即

透过公式重组 ，然后再抽出公因子 。

4.括号内的第一个数前面不能为负号；

5.如有单项式和多项式相乘
，应把单项式提到多项式前
。即a（a+b）的形式。

分解方法编辑

十字相乘法

十字相乘法的方法简单来讲就是：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项 ，交叉相乘再相加等于一次项系数 。其实就是运用乘法公式(x+a)(x+b)=x?+(a+b)x+ab的逆运算来进行因式分解
。

如：

a?x?+ax-42

首先
，我们看看第一个数，是a? ，代表是两个a相乘得到的，则推断出(ax+？）×(ax+？）
，

然后我们再看第二项， +ax这种式子是经过合并同类项以后得到的结果 ，所以推断出是两项式×两项式。

再看最后一项是-42 
，-42是-6×7 或者6×-7也可以分解成 -21×2 或者21×-2 。

首先，21和2无论正负 ，通过任意加减后都不可能是1
，只可能是-19或者19，所以排除后者。

然后 ，再确定是-7×6还是7×-6
。

(ax-7）×(ax+6）=a?x?-ax-42(计算过程省略）

得到结果与原来结果不相符
，原式+ax 变成了-ax。

再算：

(ax+7）×(ax+(-6））=a?x?+ax-42

正确，所以a?x?+ax-42就被分解成为(ax+7）×(ax-6） ，这就是通俗的十字相乘法分解因式 。

公式法

公式法
，即运用公式分解因式
。

公式一般有

1 、平方差公式a?-b?=（a+b）（a-b）

2
、完全平方公式a?±2ab+b?=（a±b）?对应的还可以有一个口诀：“首平方，尾平方 ，首尾二倍放中央”

因式分解编辑

十字相乘法，待定系数法
，双十字相乘法，对称多项式 ，轮换对称多项式法
，余式定理法，求根公因式分解没有普遍适用的方法 ，初中数学教材中主要介绍了提公因式法、运用公式法 、分组分解法。而在竞赛上
，又有拆项和添减项法式法，换元法 ，长除法
，短除法，除法等 。

注意三原则：

1．分解要彻底（是否有公因式 ，是否可用公式）

2．最后结果只有小括号

3．最后结果中多项式首项系数为正（例如：-3x2+x=x(-3x+1)）不一定首项一定为正
，如-2x-3xy-4xz=

-x(2+3y+4z)

归纳方法：

1．提公因式法
。

2．运用公式法。

3．拼凑法 。

提取公因式法

各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式.公因式可以是单项式，也可以是多项式
。

如果一个多项式的各项有公因式 ，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式
，这种分解因式的方法叫做提取公因式。

具体方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数字母取各项的相同的字母 ，而且各字母的指数取次数最低的 。当各项的系数有分数时
，公因式系数为各分数的最大公约数
。如果多项式的第一项是负的，一般要提出“- ”号 ，使括号内的第一项的系数成为正数。提出“-
”号时
，多项式的各项都要变号 。

口诀：找准公因式，一次要提尽 ，全家都搬走
，留1把家守，提负要变号 ，变形看奇偶。

例如：

注意：把

变成

不叫提公因式

公式法

根据因式分解与整式乘法的关系
，我们可以利用乘法公式把某些多项式因式分解，这种因式分解的方法叫做公式法

如果把乘法公式反过来 ，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫运用公式法
。

平方差公式：

反过来为

完全平方公式：

反过来为

反过来为

注意：能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式
，其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式，另一项是这两个数(或式)的积的2倍。

两根式：

立方和公式：a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)

立方差公式：a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)

完全立方公式：(a±b)3=a3±3a2b+3ab2±b3=(a±b)3

公式：a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)

例如：a2+4ab+4b2 =(a+2b)2

1．分解因式技巧掌握：

①分解因式是多项式的恒等变形 ，要求等式左边必须是多项式 。

②分解因式的结果必须是以乘积的形式表示
。

③每个因式必须是整式
，且每个因式的次数都必须低于原来多项式的次数。

④分解因式必须分解到每个多项式因式都不能再分解为止 。

注：分解因式前先要找到公因式，在确定公因式前 ，应从系数和因式两个方面考虑
。

2．提公因式法基本步骤：

（1）找出公因式

（2）提公因式并确定另一个因式

①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数再确定字母

②第二步提公因式并确定另一个因式
，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式 ，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式
，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式

③提完公因式后 ，另一因式的项数与原多项式的项数相同

解方程法

通过解方程来进行因式分解
，如：

X2-6X+8=0 ,解，得X1=2 ，X2=4，就得到原式=（X-2）（X-4）

关于因式分解的一般步骤如下：

把一个多项式在一个范围(如实数范围内分解
，即所有项均为实数)化为几个整式的积的形式，这种式子变形叫做这个多项式的因式分解 ，也叫作把这个多项式分解因式。

把一个多项式在一个范围化为几个整式的积的形式
，这种式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式分解因式 。

因式分解是中学数学中最重要的恒等变形之一 ，它被广泛地应用于初等数学之中
，在数学求根作图
、解一元二次方程方面也有很广泛的应用，是解决许多数学问题的有力工具
。

因式分解方法灵活 ，技巧性强。学习这些方法与技巧
，不仅是掌握因式分解内容所需的，而且对于培养解题技能、发展思维能力都有着十分独特的作用 。

学习它 ，既可以复习整式的四则运算
，又为学习分式打好基础；学好它，既可以培养学生的观察 、思维发展性
、运算能力 ，又可以提高综合分析和解决问题的能力
。

基本结论：分解因式为整式乘法的逆过程。高级结论：在高等代数上，因式分解有一些重要结论
，在初等代数层面上证明很困难，但是理解很容易 。

因式分解与解高次方程有密切的关系。对于一元一次方程和一元二次方程 ，初中已有相对固定和容易的方法
。在数学上可以证明
，对于一元三次方程和一元四次方程，也有固定的公式可以求解。只是因为公式过于复杂 ，在非专业领域没有介绍 。

对于分解因式
，三次多项式和四次多项式也有固定的分解方法，只是比较复杂
。对于五次以上的一般多项式 ，已经证明不能找到固定的因式分解法
，五次以上的一元方程也没有固定解法。

所有的三次和三次以上的一元多项式在实数范围内都可以因式分解，所有的二次或二次以上的一元多项式在复数范围内都可以因式分解 。

这看起来或许有点不可思议
。比如x4+1,这是一个一元四次多项式 ，看起来似乎不能因式分解。但是它的次数高于3
，所以一定可以因式分解 。

也可以用待定系数法将其分解，只是分解出来的式子并不整洁
。这是因为 ，由代数基本定理可知n次一元多项式总是有n个根，也就是说
，n次一元多项式总是可以分解为n个一次因式的乘积。

并且还有一条定理：实系数多项式的虚数根两两共轭的，将每对共轭的虚数根对应的一次因式相乘 ，可以得到二次的实系数因式
，从而这条结论也就成立了 。

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