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证明两平面垂直的判定定理如下：
设两个平面为平面A和平面B ，它们上的直线分别为直线a和直线b 。已知直线a与直线b互相垂直 ，即a⊥b。假设平面A和平面B不垂直，即平面A与平面B不是垂直的 。那么存在一条直线c ，它同时与平面A和平面B相交 。由于直线a在平面A上 ，所以直线a与直线c在平面A上的交点为点P。同理，直线b与直线c在平面B上的交点为点Q 。
根据垂直的性质，直线a与直线b互相垂直 ，即a⊥b 。而直线a与直线c在平面A上的交点为点P ，直线b与直线c在平面B上的交点为点Q。根据垂直的定义，直线a与直线c垂直 ，即a⊥c；直线b与直线c垂直 ，即b⊥c。
根据平面的性质，如果两条直线在同一个平面上与第三条直线互相垂直 ，那么这两条直线也是垂直的 。所以 ，根据上述推理，直线a与直线c垂直 ，直线b与直线c垂直 ，那么直线a与直线b也是垂直的，与已知条件矛盾 。因此 ，假设不成立 ，即平面A与平面B是垂直的。假设不成立，即平面A与平面B是垂直的 。
垂直关系在几何学中的应用
1、判断平面垂直：垂直关系可以用来判断两个平面是否垂直 。如果两个平面上的直线互相垂直，那么这两个平面也是垂直的。这个性质在解决线与平面的相交问题时非常有用 ，例如确定一条直线是否与一个平面垂直相交 。
2 、垂直平分线：垂直平分线是指将一条线段垂直平分的线 。垂直平分线具有一些重要的性质 ，例如，垂直平分线上的任意点到线段两个端点的距离相等 ，垂直平分线与线段的中垂线重合等。这些性质在解决线段相关问题时非常有用 ，例如确定线段的中点 、寻找等距离点等 。
3、垂直平面：在空间几何中，两个平面的交线与这两个平面垂直 。这个性质可以应用于解决线与平面的交点 、直线在平面上的投影等问题。例如 ，当一条直线与一个平面垂直相交时 ，我们可以利用这个性质来求解直线在平面上的投影点 。
在平面几何中，当两条直线的斜率乘积为-1时 ，这两条直线互相垂直 。这个性质被称为面面垂直的判定定理。
一 、垂直斜率定理（面面垂直的判定定理）
垂直斜率定理是平面几何中一个关于直线垂直性质的重要定理 ，也是解决与垂直有关问题的基础。它通过直线的斜率判断两条直线是否垂直 。
二、垂直斜率定理的表述
设直线L1的斜率为k1，直线L2的斜率为k2 ，则L1与L2垂直的充要条件是k1*k2=-1 。
垂直斜率定理的证明可以采用向量法。
设直线L1过点A(x1,y1) ，L2过点B(x2,y2) 。
则L1的斜率为k1=(y2-y1)/(x2-x1)，L2的斜率为k2=(y2-y1)/(x2-x1) 。
因为L1与L2是垂直的，所以L1与L2的斜率乘积等于-1 ，即k1*k2=-1。将k1和k2带入此等式 ，得到(y2-y1)^2/(x2-x1)^2=-1 。
由此可得，(y2-y1)^2=-(x2-x1)^2 。因为平方数不可能为负数。
所以-(x2-x1)^2不能小于0 ，也就是说 ，x2-x1≠0 。因此，垂直斜率定理得证 。
三 、垂直斜率定理的应用举例
已知直线L1的斜率为k ，过点P(x,y)作直线L2与L1垂直。
根据垂直斜率定理 ，L1和L2的斜率乘积为-1，即k*k2=-1 。解此方程可以求得L2的斜率k2 ，进而可以得到L2的方程 。
判断三角形是否垂直在三角形ABC中 ，若两条边AB和BC垂直，那么按照垂直斜率定理。
斜率k1=(y2-y1)/(x2- x1) ，斜率k2=(y3-y2)/(x3-x2) ，斜率k3=(y1-y3)/(x1-x3)
满足k1*k2=-1，k2*k3=-1，k3*k1=1的关系。
根据这一定理 ，可以判断三角形ABC是否是一个直角三角形 。
四 、总结
垂直斜率定理是平面几何中关于直线垂直性质的重要定理 。通过计算直线的斜率乘积是否等于-1 ，我们可以判断两条直线是否垂直。这个定理在解决与垂直有关的问题中具有广泛的应用，如求垂线方程、判断三角形是否垂直等 。
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