线性电路的分析方法_一阶线性动态电路的分析方法

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摘要：本文针对一阶动态电路具有的特殊规律和特征，运用四种方法介绍对一阶动态RC电路的求解，以区别于稳态电路的求解方法。并对比各种解法，在不同类型的动态电路分析中进行合理选择，以期更方便地求解问题。

关键词：一阶线性动态电路求解方法

一阶线性动态电路指的是电路中只含有一种储能元件（电容或电感），当电路的结构或元件参数发生改变时，电路的工件状态将由原来的稳态转变成另一个稳态，这种转变是需要一个过程的。一阶线性动态电路其动态过程的数学模型是一阶常系数微分方程。此类电路以RC电容充放电电路、RL电感储能和释能电路最为常见，其动态过程中的电流和电压都是变化的。这与通常描述的直流电路和周期性交流电路中，电压及电流恒稳不变，或按周期性规律变动的稳态电路不同。在分析方法上也完全不同。下面以RC动态电路为例，运用四种方法求解动态过程中的电流和电压的变化规律。

如图1，RC电路开关S合上前电容已充过电，电容上的电压U（0_）=U ，求开关合上后电路中的电流i和电压u。

解法一：微分方程法

由i=C，得回路电压方程

u+CR=U

得：u=U+Ae

由换路定律知：t=0时，u（0_）=u（0）=U代入上式确定常数A值

得：A=U-U

所以u=U+（U-U）e

i=C=e

可见当开关S闭合后，电容充电电容电压由U逐渐增大为U，电路电流由按指数规律逐渐衰减为0。

解法二：三要素法

一阶线性动态电路的三要素公式为：

f（t）=f（∞）+［f（0）-f（∞）］e（t≥0）

其中三要素为：稳态值f（∞）为t=∞时所求响应的稳定值

初始值f（0）为t=0时所求响应的起始值

时间常数τ=CR

由此得：u=U+（U-U）e

i=0+-0e=e

解法三：拉氏变换法

由回路电压方程u+CR=U?藓（t）

其中?藓（t）为阶跃函数?藓（t）=1（t≥0）?藓（t）=0（t<0）

对此方程作拉氏变换得：U（S）+CR［SU（S）-U（0_）］=

得：U（S）=+=-+

由拉氏逆变换得：u=U-Ue+Ue=U+（U-U）e

i==e

解法四：R 、C元件的复频域模型法

i=C

运用拉氏变换得：I（S）=CSU（S）-CU（0_）

得：U（S）=+

根据图2所示的RC电路复频域等效模型，由基尔霍夫定律的复频域方程得：

++I（S）R=

得：I（S）=×=（U-U）

由拉氏逆变换得：i=e

u=U-i（t）R=U-（U-U）e=U+（U-U）e

文中用四种方法求解了一阶线性动态电路的响应，对比此四种方法，对一阶动态电路，三要素法只需根据换路后的等效电路，确定出三要素后就能直接按表达式写出响应。微分方程法要运用初始条件求常数A ，且求解过程也相对复杂些，但微分方程是依据回路的电压方程列出的，物理意义很明确，是三要素法、拉氏变换法的基础。在二阶RLC动态电路分析中，所列出的方程是二阶微分方程，求解难度较大，此种情况下用拉氏变换把微分方程转化为代数方程，运用动态电路复频域分析法求解会较为方便。因此在分析动态电路时，选择合适的求解方法，会达到事半功倍的效果。

参考文献：

［1］王慧玲.电路基础.高等教育出版社，2007：11.

［2］王翠萍.应用数学.中国纺织出版社，2009：4.

一阶RC电路三要素法是怎么用的

Uc(0-）=8v,Uc(∞)=7V,时间常数t=R0C=1*.01=0.1

算稳态值的时候，把两个4V电阻并联成一个2V电阻R，用KCL和KVL各列写一个方程。解出i和通过R的电流i2，得到稳态Uc。

把电压源短路，电流源断路，你画出等效电路，就相当于两个2V电阻并联，求出R0=1

三要素法是分析一阶动态电路的一种非常重要的方法,教材都是通过求解一阶微分方程,给出了一阶rl电路中的电感电流,或者一阶rc电路中电容电压的三要素求解法,而电路中的其他电流和电压也可以利用三要素法来求解,教材对此一般根据一阶微分方程理论进行推广,或者只是简单说明.利用叠加定理、替代定理和齐次性定理,证明了在直流电源的激励下,一阶电路中的任意电压和电流都可以利用三要素法来求解.

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